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Teorema de Boucherot

Teorema de Boucherot

El teorema de Boucherot, ideado por Paul Boucherot, permite la resolución del cálculo total de potencias en circuitos de corriente alterna. De acuerdo con este teorema, las potencias activa y reactiva totales en un circuito, vienen dadas por la suma de las potencias activa y reactiva, respectivamente, de cada una de sus cargas. De forma analítica:
P_T =\sum_{k=1}^n P_k
Q_T =\sum_{k=1}^n Q_k
Seguidamente se demostrarán ambas igualdades para un receptor serie y para otro paralelo.

Receptor en serie

Figura 1: Receptor serie, a, y diagrama fasorial, b.
Sea el circuito serie de la figura 1a. Aplicando la ley de Ohm
\vec{V} = \vec{I} (\vec{Z1} + \vec{Z2} + \vec{Z3}) = \,\!
= \vec{I} (R1 + X1j + R2 + X2j +R3 + X3j) \,\!
Tomando la intensidad en el origen de fases (figura 1b),
\vec{I} = I _\ \underline{/ 0} = I + 0j = I \,\!
y sustituyendo
\vec{V} = IR1 + IR2 + IR3 + (IX1 +IX2 + IX3)j \,\!
Por otro lado, el valor de \vec{V} puede expresarse como (ver figura 1b):
\vec{V} = V \cos \phi + (V \sin \phi)j \,\!
Comparando ambas igualdades
V \cos \phi = IR1 + IR2 + IR3 \,\!
V \sin \phi = IX1 +IX2 + IX3 \,\!
Finalmente si multiplicamos ambas expresiones por I, se deduce
P_T = P1 + P2 + P3 \,\!
Q_T = Q1 + Q2 + Q3 \,\!

Receptor en paralelo

Figura 2: Receptor paralelo, a, y diagrama fasorial, b.
Sea el circuito paralelo y su correspondiente diagrama fasorial, figuras 2a y 2b respectivamente. Las componentes activa y rectiva de la corriente total, Ia e Ir, vienen dadas como suma de las componentes parciales de cada una de la corrientes que circulan por cada rama:
I_a = I_{a1} + I_{a2} + I_{a3} \,\!
I_r = I_{r1} + I_{r2} + I_{r3} \,\!
Sustituyendo por sus valores:
I\cos \phi\ = I_{1}\cos \phi\ _1 + I_{2}\cos \phi\ _2 + I_{3}\cos \phi\ _3 \,\!
I\sin \phi\ = I_{1}\sin \phi\ _1 + I_{2}\sin \phi\ _2 + I_{3}\sin \phi\ _3 \,\!
Y si estas expresiones se multiplican por V, se obtiene
P_T = P1 + P2 + P3 \,\!
Q_T = Q1 + Q2 + Q3 \,\!
Que es el mismo resultado que para un receptor serie. En ambos casos, generalizando
P_T =\sum_{k=1}^n P_k \,\!
Q_T =\sum_{k=1}^n Q_k \,\!
que es lo que se deseaba demostrar.

Potencia aparente total

Figura 3: Triángulo de potencias de una instalación con tres receptores, el 1 y el 2 inductivos y el 3 capacitivo.
Los dos puntos anteriores no implican que la potencia aparente total de un sistema se obtenga como suma de las potencias aparentes parciales:
S_T \; \ne \sum_{k=1}^n S_k \,\!
Gráficamente, para efectuar el balance de potencias de una instalación, es necesario obtener el triángulo total de potencias como suma de los triángulos de potencia parciales de cada receptor. Si por ejemplo tuviéramos tres receptores, dos inductivos y uno capacitivo, su triángulo de potencias sería similar al mostrado en la figura 3, donde se deduce que
S_T = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2} \,\!
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Boucherot"

TEOREMAS DE CIRCUITOS ELECTRICOS

Teoremas de circuitos eléctricos

Los teoremas de circuitos eléctricos son aquellas técnicas derivadas de las leyes de Kirchoff y la ley de Ohm que permiten resolver de una manera más simple cierto tipo de circuitos. Algunos con aplicaciones más particulares que otros, facilitan el estudio de las redes eléctricas.

Contenido

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  • 1 Teorema de Sustitución
  • 2 Teorema de Seccionamiento
  • 3 Teorema de reciprocidad
  • 4 Teorema de Millman
  • 5 Teorema de Tellegen

Teorema de Sustitución

El Teorema de Sustitución establece lo siguiente:

"Si la Tensión o la corriente a través de cualquier red de CD bilateral son conocidos, esta rama puede ser reemplazada por cualquier combinación de elementos que mantendrá la misma Tensión y la misma Corriente de la rama escogida".

Figura 1.

De manera mas simple el teorema establece que para la equivalencia de rama, la Tensión y la Corriente en las terminales a y b deben ser los mismos. Considerando el circuito de la figura 1 en donde la Tensión y la Corriente a través de la rama a-b están determinados. En la figura 2 se muestran varias ramas equivalentes a-a' obtenidas gracias al uso del Teorema de Sustitución.

Figura 2 Ramas Equivalentes.

Observe que para cada rama equivalente, la tensión en las terminales y la corriente son los mismos, también considere que la respuesta del resto del circuito de la figura 1 no cambia, al sustituir cualquiera de las ramas equivalentes.Como se mostro para las ramas equivalentes de una sola fuente de la figura 2 una diferencia de potencial y una corriente conocidas en una red pueden ser reemplazadas por una fuente de tensión y una fuente de corriente respectivamente.
Debe comprenderse que este teorema no debe ser utilizado para resolver redes con dos o más fuentes que no estén en serie o en paralelo. Para aplicarlo, un valor de diferencia de potencial o de corriente debe ser conocido o encontrado usando alguna tecnica de análisis de circuitos eléctricos.
Una aplicacion del teorema de sustitución se muestra en la figura 3 ; Observe que en la figura, la diferencia de potencial conocida V fue reemplazada por una fuente de tensión, permitiendo aislar la porción de red que incluye R3, R4 y R5.

Figura 3 Demostración del efecto de conocer una tensión en algún punto en una red compleja.
La equivalencia de la fuente de corriente de la red anterior se muestra en la figura 4, donde una corriente conocida es reemplazada por una fuente ideal de corriente permitiendo aislar R4 y R5.

Figura 4 Demostración del efecto de conocer una corriente en algún punto en una red compleja.
Las aplicaciones de este teorema son muchas y es muy utilizado en en análisis de redes complejas o circuitos electrónicos muy grandes, donde en la mayoría de los casos es posible expresar todo en circuitos equivalentes conociendo corrientes o tensiones y resistencias, una aplicación mas se da en el análisis de redes puente donde V = 0 e I = 0 se reemplazan por un corto circuito y un circuito abierto respectivamente.

Figura 5 Efecto de la utilización del Teorema de Sustitución en redes puente.
Ref: Introducción al Análisis de Circuitos, R. Boylestad

Teorema de Seccionamiento

Un circuito se puede seccionar cuando está unido por dos terminales, dando origen a dos nuevos circuitos, reemplazando cada parte por una fuente de voltaje - corriente, cuyos valores correspondan al voltaje y a la corriente en los terminales del circuito original; tal y como se muestra en la siguiente figura.

Camilo.png

Demostración:
Kmi2.png

Edi.pngGamin.png
Ecuación circuito (1)
Vs + Vx + i1R1 = 0  ; de donde despejando Vx se obtiene:
Vx = Vsi1R1
Ecuación circuito (2)
R2(i1 + Is) + VxVs = 0 ; de donde despejando i1 se obtiene:
i1 = (Vx / R2) − Is

Teorema de reciprocidad

primer enunciado: Indica que si la excitación en la entrada de un circuito produce una corriente i a la salida, la misma excitación aplicada en la salida producirá la misma corriente i a la entrada del mismo circuito. Es decir el resultado es el mismo si se intercambia la excitación y la respuesta en un circuito.
Reciprocidad.jpg
segundo enunciado: La intensidad i que circula por una rama de un circuito lineal y pasivo, cuando se intercala una fuente de tensión en otra rama, es la misma que circularía por esta última si la fuente de tensión se intercalase en la primera.
Figura 14.jpg
ejemplo:En el siguiente circuito se tiene una fuente de tensión en corriente directa de 10 Voltios, entre 1 y 2, que alimenta una red de resistencias.

Teorema reciprocidad1.gif

Si ahora se cambian de posición la fuente de tensión y el amperímetro, quedando la fuente de tensión entre 3 y 4, y el amperímetro entre 1 y 2, como se muestra en el siguiente diagrama:
Teorema reciprocidad2.gif

Se observa que en el amperímetro se lee una corriente de 20 mA.
En conclusión se puede afirmar que: "El hecho de intercambiar la posición relativa de los puntos de inserción de la fuente y del amperímetro no modifica los valores medidos".

Teorema de Millman


Este teorema permite calcular la tensión total en un circuito de dos nodos, conociendo las admitancias y las fuentes de tensión de cada una de las ramas.
El principio de Millman resulta cuando se tiene un circuito con solo 2 nodos, es lo mismo cuando se tienen 2 resistencias en paralelo. Sirve para obtener directamente la diferencia de potencial en los extremos del circuito.
El teorema de Millman es útil cuando un circuito puede ser redibujado como una red de ramas paralelas, cada rama consta de una resistencia en serie con una fuente de tensión (o de corriente), la tensión Vm a través de todas las ramas en paralelo se calcula como. Grafica1.png
V_m  = {{{{F_1 } \over {R_1 }} + {{F_2 } \over {R_2 }} + {{F_3 } \over {R_3 }} + ... + {{F_n } \over {R_n }}} \over {{1 \over {R_1 }} + {1 \over {R_2 }} + {1 \over {R_3 }} + ... + {1 \over {R_n }}}}
Donde F es la fuente de tensión o de corriente según sea el caso.
Para propósitos del cálculo, el valor de la fuente de tensión o de corriente es igual a cero en un rama que consiste en nada más que una resistencia.
El teorema de Millman no es nada más que una ecuación larga, aplicada a un circuito dibujado como sistema de ramas conectadas paralelamente, de cada rama con su propia fuente del tensión y de serie de resistencia:
Para solucionar para las corrientes de la rama, cada caída de voltaje del resistor se puede dividir por su resistencia respectiva. I = {V \over R} Donde V es Vm.
La dirección de la corriente a través de cada resistencia es determinada por la polaridad a través de cada resistencia y no por la polaridad a través de cada fuente, como la corriente se puede forzar al revés a través de una fuente. Es importante tener presente, puesto que el teorema de Millman no proporciona una indicación de la dirección actual “incorrecta” al igual que la corriente de la rama ni endientan métodos actuales. Se debe prestar atención a las polaridades de las caídas de tensión de la resistencia según lo dado por la ley de Tensiones de Kirchhoff, determinando la dirección de corrientes.
El teorema de Millman es muy conveniente para determinar la tensión a través de un sistema de ramas paralelas, donde hay bastantes fuentes de tensión presentes. También es fácil en el sentido que no requiere el uso de ecuaciones simultáneas. Sin embargo, se limita en que se aplica solamente a los circuitos que se pueden rediseñar para caber esta forma. No puede ser utilizado, por ejemplo, para solucionar un circuito de puente desequilibrado.
  • .«All About Circuits»
  • «www.broadcast.net».
  • «www.ecelab.com».

Teorema de Tellegen

Tiene una gran cantidad de aplicaciones, que van desde circuitos con elementos activos y pasivos, lineales y no lineales, y fuentes que varíen con el tiempo. La gran generalidad del teorema se deriva del hecho de que la única condición para aplicarse es que se cumpla con las dos leyes de kirchoff. Si se considera la convención de signo pasivo (la corriente se dirige del terminal positivo al negativo), siendo vk(t) e ik(t), las tensiones y corrientes instantáneas respectívamente, el teorema de Tellegen establece que:
\sum_{k=1}^r v_{k}(t).i_{k}(t)=0
Dado que el producto de la tensión por la corriente instantánea representa la potencia instantánea, el teorema de Tellegen representa la conservación de la potencia en un circuito, es decir que la suma de las potencias suministradas por las fuentes equivale a las potencias absorbidas por las resistencias.